Question

（本題滿分14分）已知橢圓的離心率為，右焦點也是拋物線的焦點。     
（1）求橢圓方程；
（2）若直線與相交于、兩點。
①若,求直線的方程；
②若動點滿足，問動點的軌跡能否與橢圓存在公共點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

   

（1）根據(jù)，即，據(jù)得，故，
所以所求的橢圓方程是。（3分）
（2）①當直線的斜率為時，檢驗知。設，
根據(jù)得得。
設直線，代入橢圓方程得，
故，得，
代入得，即，
解得，故直線的方程是。 （8分）
②問題等價于是不是在橢圓上存在點使得成立。
當直線是斜率為時，可以驗證不存在這樣的點，
故設直線方程為。（9分）
用①的設法，點點的坐標為，
若點在橢圓上，則，
即，
又點在橢圓上，故，
上式即，即，
由①知

，
代入得，
解得，即。（12分）
當時，，
；
當時，，
。
故上存在點使成立，
即動點的軌跡與橢圓存在公共點，
公共點的坐標是。（14分）