Question

已知點(diǎn)P與定點(diǎn)F的距離和它到定直線(xiàn)l:的距離之比是1 : 2.
(1)求點(diǎn)P的軌跡C方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于A, B兩點(diǎn), A, B在l上的射影分別為M, N.
求證AN與BM的公共點(diǎn)在x軸上.

Answer 1

（1）（2）見(jiàn)解析

(1) 如圖(1) 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則由題設(shè)得:,
化簡(jiǎn)得: ,
即即.
∴點(diǎn)P的軌跡C的方程是.
(2) ①當(dāng)AB軸時(shí), A、B的坐標(biāo)分別為, ,
AN與BM的交點(diǎn)為在x軸上.
②當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線(xiàn)AB的方程為,
代入橢圓,得
設(shè), , 則, ,
且 ∵直線(xiàn)AN方程是,
直線(xiàn)BM方程是.
聯(lián)列, 得, 消去y, 得: .
即 即,
把代入直線(xiàn)AN的方程
得
 ∴AN與BM交于點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn).
(2) 解法二:如圖(2) 當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí),
設(shè)AF＝n, 則AM＝2n, 設(shè)BF＝m, 則BN＝2m,
在△ABN和△BAM中, FH∥AM, FH₁∥BN,
∴△ABN∽△AFH和△BAM∽△BFH₁
∴

同理可推, ∴
,
∴,∴H與H₁重合，∴AN與BM交點(diǎn)是x軸上一定點(diǎn).