Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx，x∈R，k∈R．
（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若k＞0，且對(duì)于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+f（-x），求證：g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=e時(shí)，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e；直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函數(shù)．f（|x|）＞0對(duì)任意x∈R恒成立等價(jià)于f（x）＞0對(duì)任意x≥0恒成立；
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2；

解答 解：（1）當(dāng)k=e時(shí)，f（x）=e^x-ex，f'（x）=e^x-e．
令f'（x）=0，得x=1；
當(dāng)x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0．
因此，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1），單調(diào)遞增區(qū)間（1，+∞）．
（2）由f（|-x|）=f（|x|）可知：f（|x|）是偶函數(shù)．于是，f（|x|）＞0對(duì)任意x∈R恒成立等價(jià)于f（x）＞0對(duì)任意x≥0恒成立；由f'（x）=e^x-k=0，得x=lnk．
①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f'（x）=e^x-k＞1-k≥0（x＞0），此時(shí)，f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）≥f（0）=1＞0，符合題意．
②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值k-lnk	↗

由上表可知：在區(qū)間[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-lnk．
依題意，得k-klnk＞0．
又k＞1∴1＜k＜e
綜上：實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，e）．
（3）g（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x，
∴當(dāng)x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂時(shí)，
g（x₁）g（x₂）=${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+${e}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+${e}^{-{x}_{1}+{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
即  g（x₁）g（x₂）＞${e}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
∴g（1）g（2n）＞e²ⁿ⁺¹+2，g（2）g（2n-1）＞e²ⁿ⁺¹+2，…，g（2n）g（1）＞e²ⁿ⁺¹+2；
∴[g（1）g（2）…g（2n）]²=[g（1）g（2n）][g（2）g（2n-1）]…[g（2n）g（1）]＞（e²ⁿ⁺¹+2）²ⁿ；
故g（1）g（2）…g（2n）＞（e²ⁿ⁺¹+2）ⁿ，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)基本性質(zhì)以及數(shù)值運(yùn)算，屬中等題；