Question

10．已知函數(shù)f（x）=lnx，$g（x）=\frac{a}{x}（a＞0）$，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x）．
（1）若函數(shù)F（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值是$\frac{3}{2}$，求a的值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)，直線AB的斜率為k，且a=1，求證：$k＞g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系，分類討論，即可求出a的值．
（2）先求f（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（x₀），在利用斜率公式求出過這兩點(diǎn)的斜率公式，利用構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性比較大��；

解答 解：（1）f（x）=lnx，$g（x）=\frac{a}{x}（a＞0）$，
∴F（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，x＞0，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，x＞0，
當(dāng)F′（x）＞0時(shí)，解得x＞a，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)F′（x）＜0時(shí)，解得0＜x＜a，函數(shù)單調(diào)遞減，
∵x∈[1，e]，
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，F(xiàn)′（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）_min=F（1）=a=$\frac{3}{2}$，不合題意，
當(dāng)1＜a＜e時(shí)，F(xiàn)′（x）在[1，a]上單調(diào)遞減，在（a，e]上函數(shù)單調(diào)遞增，
∴F（x）_min=F（a）=lna+1=$\frac{3}{2}$，解得a=$\sqrt{e}$，
當(dāng)a≥e，F(xiàn)′（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，F(xiàn)（x）_min=F（e）=1+$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{e}{2}$，不合題意，
綜上所述a=$\sqrt{e}$，
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)（x₀，y₀），
當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=g（x₀）
∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴g（x₀）=f′（x₀），
∵設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數(shù)f（x）圖象上任意不同的兩點(diǎn)，
∴k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2-}{x}_{1}}$=$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
不妨設(shè)x₂＞x₁，只要比較k與f'（x₀）的大小，
即比較$\frac{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$與$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$的大小
又∵x₂＞x₁，
∴即比較ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$與$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$的大�。�
令h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，（x≥1），
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{4}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0
∴h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
又$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴h（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞h（1）=0，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞$\frac{2（\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1）}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}+1}$，
∴k＞f′（x₀），
∴$k＞g（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值，還考查了構(gòu)造函數(shù)并利用構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題，重點(diǎn)考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化的思想及構(gòu)造的函數(shù)與思想．