Question

已知動點M到點F．
（1）求動點M的軌跡C的方程；
（2）若過點E（0，1）的直線與曲線C在y軸左側(cè)交于不同的兩點A、B，點P（-2，0）滿足，求直線PN在y軸上的截距d的取值范圍．．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接設(shè)出點M的坐標(biāo)，列出M的關(guān)系式，代入坐標(biāo)化簡即可．即用直接法求軌跡方程．
（2）由（1）可知動點M的軌跡C為雙曲線，聯(lián)立方程，消元，若過點E（0，1）的直線與曲線C在y軸左側(cè)交于不同的兩點A、B，即消元后的方程應(yīng)有兩個負(fù)實根，故，求出k的范圍．由知N為AB的中點，由維達(dá)定理表示出N的坐標(biāo)，寫出PN的方程，令x=0，用k表示出直線PN在y軸上的截距d，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．
解答：解：（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為（x，y），由題設(shè)可知，
∴動點M的軌跡C方程為x²-y²=1
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設(shè)直線AB的方程為：y=kx+1，
由消去y得：（1-k²）x²-2kx-2=0（x≤-1），
由題意可得：
解得∴
則，
∴
令上為減函數(shù)．
∴．
點評：本題考查直接法求軌跡方程和直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷、圓錐曲線中范圍的求解，綜合性強(qiáng)，計算量大．