Question

2．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB，
（1）在AE上是否存在一點(diǎn)F，使得直線DF∥面BCE，若存在求請(qǐng)給出點(diǎn)F的位置；
（2）點(diǎn)G是三角形ABE的重心，$CD=\sqrt{2}$，試求三棱錐E-ADG的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MD、FD，推導(dǎo)出面DMF∥面BCE，從而求出在AE上存在一點(diǎn)F，使得直線DF∥面BCE，且點(diǎn)FAE的中點(diǎn)．
（2）三棱錐E-ADG的體積V_A-ADG=V_D-AEG，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)F為AE中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MD、FD，
∵AB=2CD=2BC，∴M是AB的中點(diǎn)，
∴MF∥BE，DM∥BC，
∵BC∩BE=B，MF∩DM=M，
BC，BE?平面BCE，MF，DM?平面DMF，
∴面DMF∥面BCE，
∵DF?平面DMF，∴直線DF∥面BCE．
∴在AE上存在一點(diǎn)F，使得直線DF∥面BCE，且點(diǎn)FAE的中點(diǎn)．
（2）∵直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，
AB=2CD=2BC，EA⊥EB，點(diǎn)G是三角形ABE的重心，$CD=\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)G在EM上，且EG=2MG=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
且DM⊥AB，EM⊥AB，∴EM⊥平面ABCD，∴DM⊥EM，
∴點(diǎn)D到平面AEG的距離DM=BC=$\sqrt{2}$，S_△AEG=$\frac{2}{3}{S}_{△AEM}$=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}）$=$\frac{2}{3}$，
∴三棱錐E-ADG的體積：
V_A-ADG=V_D-AEG=$\frac{1}{3}×DM×{S}_{△AGE}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查使線面平行的點(diǎn)的位置的確定，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．