Question

17．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè) b_n=log₂a_n，${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，記數(shù)列 {c_n}的前n項和T_n，若 ${T_n}＜\frac{m}{3}$對所有的正整數(shù) n都成立，求最小正整數(shù) m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求出首項和公比，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入 b_n=log₂a_n，得到${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$的通項公式，然后利用裂項相消法求得數(shù)列 {c_n}的前n項和T_n，并求其最大值，再由最大值小于$\frac{m}{3}$求得最小正整數(shù) m的值．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-a₁，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1），從而a₂=2a₁，a₃=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，∴a₁+a₃=2（a₂+1），
即a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
則${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）由（1）得，
${b_n}={log_2}{2^n}=n$，${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{3}{{n（{n+1}）}}$，
∴${T_n}=3（{\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}}）=3（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=3（{1-\frac{1}{n+1}}）$．
∴T_n的最大值為3，
若${T_n}＜\frac{m}{3}$對所有的正整數(shù) n都成立，只要 $3＜\frac{m}{3}$即可，
∴m＞9，故整數(shù)m的最小值為10．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的前n項和，是中檔題．