Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-cosx）+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

2

，0]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得關(guān)于正弦函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最小正周期T．
（Ⅱ）根據(jù)x的范圍，求得2x-

π

4

的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-cos²x+1
=

1

2

sin2x-

1+cos2x

2

+1
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

4

．
∴-1≤sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴

- 2 +1

2

≤

2

2

sin（2x-

π

4

）+

1

2

≤1，
即

- 2 +1

2

≤f（x）≤1；
當(dāng)2x-

π

4

=-

π

2

時(shí)，即x=-

π

8

時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值

- 2 +1

2

，
當(dāng)2x-

π

4

=-

5π

4

，即x=-

π

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取到最大值1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)的恒等變換的運(yùn)用．注意對(duì)三角函數(shù)圖象，性質(zhì)，以及倍角公式等公式的熟練掌握．