Question

【題目】如圖1，在△中，，分別為，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．將△沿折起到△的位置，使得平面平面，如圖2．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線和平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和所成角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析．（Ⅱ）．（Ⅲ）．

【解析】試題分析：第一問根據(jù)等腰三角形的特征，可以得出，再結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，可以得出平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可以得出以 ，之后根據(jù)面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)得出結(jié)果；第二問根據(jù)題中的條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得結(jié)果；第三問關(guān)于是否存在類問題，都是假設(shè)其存在，結(jié)合向量所成角的余弦值求得結(jié)果.

（Ⅰ）因為在△中，，分別為，的中點(diǎn)，

所以 ，．

所以，又為的中點(diǎn)，

所以 ．

因為平面平面，且平面，

所以 平面，

所以 ．

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接，所以．

由（Ⅰ）得，．

如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意得，，，，．

所以，，．

設(shè)平面的法向量為，

則即

令，則，，所以．

設(shè)直線和平面所成的角為，

則．

所以 直線和平面所成角的正弦值為．

（Ⅲ）線段上存在點(diǎn)適合題意．

設(shè)，其中．[10分]

設(shè)，則有，

所以，從而，

所以，又，

所以．

令，

整理得．

解得，舍去．

所以 線段上存在點(diǎn)適合題意，且．