Question

12．有四個(gè)關(guān)于三角函數(shù)的命題：
p₁：?x∈R，sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy
p₃：?x∈[0，π]，$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=sinx
p₄：?x∈R，tanx=cosx
其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 2個(gè)
• D． 1個(gè)

Answer 1

分析 p₁：利用平方關(guān)系可知正確；
p₂：取x=0，y=$\frac{π}{3}$，即可判斷出正誤．
p₃：利用倍角公式可得$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=|sinx|；
p₄：由tanx=cosx，化為sinx=cos²x=1-sin²x，即sin²x+sinx-1=0，解出即可判斷出正誤．

解答 解：p₁：?x∈R，利用平方關(guān)系可知：sin²$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=1，正確；
p₂：?x、y∈R，cos（x-y）=cosx-cosy，取x=0，y=$\frac{π}{3}$，可知正確．
p₃：?x∈[0，π]，sinx≥0，∴$\sqrt{\frac{1-cos2x}{2}}$=$\sqrt{si{n}^{2}x}$=|sinx|=sinx，因此正確；
p₄：假設(shè)：?x∈R，tanx=cosx，則sinx=cos²x=1-sin²x，化為sin²x+sinx-1=0，解得sinx=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$∈（0，1），因此x存在，因此假設(shè)正確．
綜上可得：四個(gè)命題都正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定方法、三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．