Question

已知函數(shù)f（log_ax）=x+x^-1，（a＞0，a≠1）
（1）若f(1)=

5

2

求a；
（2）證明f（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件f(1)=

5

2

知1=log_ax，可得x=a從而有a+a-1=

5

2

，由此方程解出a的值即可；
（2）首先解出函數(shù)f（x）的解析式，可利用換元法求解，令t=log_ax，得x=a^t，代入整理即可得到f（x）=a^x+a^-x，再由定義法證明它在[0，+∞）是增函數(shù)

解答：解：（1）由題設(shè)條件得1=log_ax，x=a
得a+a-1=

5

2

…（4分）
解得a=2或a=

1

2

…（7分）
（2）令t=log_ax，得x=a^t，代入函數(shù)f（log_ax）=x+x^-1整理得函數(shù)f（x）=a^x+a^-x
下由單調(diào)性定義證明
任取x₁，x₂，x1＞x2≥0，f(x1)-f(x2)=ax1+

1

ax1

-ax2-

1

ax2

，
=

(ax1-ax2)(ax1•ax2-1)

ax1•ax2

…（10分）
當(dāng)a＞1時(shí)x1＞x2≥0，(ax1-ax2)＞0，ax1•ax2＞1
當(dāng)0＜a＜1時(shí)x1＞x2≥0，(ax1-ax2)＜0，ax1•ax2＜1
故f（ x₁）＞f（ x₂），
所以f（x）在[0，+∞）是增函數(shù)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，解對(duì)數(shù)方程，冪函數(shù)方程，定義法證明單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用換元法求出f（x）的解析式及熟練掌握定義法的證明單調(diào)性，其步驟是，任取，作差，判號(hào)，得出結(jié)論，其中判號(hào)一步易忽略，是易錯(cuò)點(diǎn)，換元法是求外層函數(shù)解析式常用的技巧，其規(guī)律固定，要熟練掌握