Question

已知函數(shù)f(x)=mln(1+x)-

1

2

x2(m∈R)，滿足f′（0）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f(x)=-

3

4

x2+x+c在[0，2]恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f'（0）=1求出m的值代入函數(shù)f（x），然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減求單調(diào)區(qū)間．
（2）將函數(shù)f（x）的解析式代入方程f(x)=-

3

4

x2+x+c得ln(1+x)+

1

4

x2-x-c=0，
然后組成函數(shù)h(x)=ln(1+x)+

1

4

x2-x-c，根據(jù)單調(diào)性和極值點(diǎn)求解．

解答：解：（1）f′(x)=

m

1+x

-x，∵f′（0）=1，∴m=1．
∴f′(x)=

1-x-x2

x+1

，
令f′(x)=0得x=

-1+ 5

2

或x=

-1- 5

2

（舍去）．
當(dāng)x∈(-1，

-1+ 5

2

)時(shí)，f'（x）＞0
∴f（x）在(-1，

-1+ 5

2

)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(

-1+ 5

2

，+∞)時(shí)，f'（x）＜0
∴f（x）在(

-1+ 5

2

，+∞)上是減函數(shù)．
（2）f(x)=-

3

4

x2+x+c，
由ln(1+x)-

1

2

x2=-

3

4

x2+x+c，
得ln(1+x)+

1

4

x2-x-c=0，
設(shè)h(x)=ln(1+x)+

1

4

x2-x-c，h′(x)=

1

1+x

+

1

2

x-1=

x2-x

2(1+x)

當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h'（x）＞0，則h（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h'（x）＜0，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，則h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；
而h（0）=-c，h(1)=ln2-

3

4

-c，h（2）=ln3-1-c
f(x)=-

3

4

x2+x+c在[0，2]恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于

h(0)=-c≥0 h(1)=ln2- 3 4 -c＜0 h(2)=ln3-1-c≥0

∴實(shí)數(shù)c的取值范圍ln2-

3

4

＜c≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．