Question

已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．則曲線C在極坐標(biāo)系中的方程是

 

；直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）利用sin²θ+cos²θ=1可把曲線C的參數(shù)方程化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
（2）直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．展開為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化為x+y=0，再利用點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答： 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為

x=2+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)），利用sin²θ+cos²θ=1可化為（x-2）²+y²=4，即x²-4x+y²=0．
∴曲線C在極坐標(biāo)系中的方程為ρ²-4ρcosθ=0，
由于ρ=4cosθ包含ρ=0的情況，
∴曲線C在極坐標(biāo)系中的方程為ρ=4cosθ．
（2）∵直線l的方程為ρsin(θ+

π

4

)=0．展開為

2

2

(ρsinθ+ρcosθ)=0，可化為x+y=0，
∴圓C的圓心C（2，0）到直線l的距離為d=

2

，
又∵圓C的半徑為r=2，
∴直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)l=2

r2-d2

=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查曲線的參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程、直線的極坐標(biāo)方程、直線與圓相交問題、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．