Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=a
（Ⅰ）求證：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）求三棱錐C-AB₁D的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）在正三棱柱中，易證明BB₁⊥平面ABC及AD⊥BD，根據(jù)三垂線定理可知：AD⊥B₁D
（Ⅱ）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面AB₁D里面找到一條直線與A₁C平行即可，因為D為BC中點，所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”，連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=E，連接DE，所以DE∥A₁C．
（Ⅲ）利用VC-AB1D=VB1-ADC，即可求三棱錐C-AB₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴BD是B₁D在平面ABC上的射影
在正△ABC中，∵D是BC的中點，
∴AD⊥BD，
根據(jù)三垂線定理得，AD⊥B₁D．
（Ⅱ）證明：連接A₁B，設(shè)A₁B∩AB₁=E，連接DE．
∵AA₁=AB∴四邊形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中點，
又D是BC的中點，
∴DE∥A₁C．（7分）
∵DE?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．（9分）
（Ⅲ）解：由圖知VC-AB1D=VB1-ADC，AA₁=AB=a，
∴VC-AB1D=VB1-ADC=

1

3

S_△ADCBB₁=

3

24

a3．

點評：本題考查空間垂直關(guān)系、平行關(guān)系的證明，考查三棱錐體積的計算．解題時要認真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．