Question

已知數列{a_n}是各項均為正數且公比不等于1的等比數列．對于函數y=f（x），若數列{lnf（a_n）}為等差數列，則稱函數f（x）為“保比差數列函數”．現有定義在（0，+∞）上的如下函數：
①，
②f（x）=x²，
③f（x）=e^x，
④，
則為“保比差數列函數”的所有序號為（ ）
A．①②
B．③④
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：設數列{a_n}的公比為q（q≠1），利用保比差數列函數的定義，驗證數列{lnf（a_n）}為等差數列，即可得到結論．
解答：解：設數列{a_n}的公比為q（q≠1）
①由題意，lnf（a_n）=ln，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=ln=-lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
②由題意，lnf（a_n）=ln，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=lnq²=2lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
③由題意，lnf（a_n）=ln，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=a_n+1-a_n不是常數，∴數列{lnf（a_n）}不為等差數列，不滿足題意；
④由題意，lnf（a_n）=ln，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln-ln=lnq是常數，∴數列{lnf（a_n）}為等差數列，滿足題意；
綜上，為“保比差數列函數”的所有序號為①②④
故選C．
點評：本題考查新定義，考查對數的運算性質，考查等差數列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．