Question

1．已知雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{3}=1$的右頂點(diǎn)為A，過右焦點(diǎn)F的直線l與C的一條漸近線平行，交另一條漸近線于點(diǎn)B，則S_△ABF=（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由雙曲線的方程可得a、b的值，進(jìn)而可得c的值，可以確定A、F的坐標(biāo)，設(shè)BF的方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），代入y=-$\sqrt{3}$x，解得B的坐標(biāo)，由三角形的面積公式，計(jì)算可得答案．

解答 解：由雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{3}=1$，
可得a²=1，b²=3，故c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=2，
∴A（1，0），F(xiàn)（2，0），漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
不妨設(shè)BF的方程為y=$\sqrt{3}$（x-2），
代入方程y=-$\sqrt{3}$x，解得：B（1，-$\sqrt{3}$）．
∴S_△AFB=$\frac{1}{2}$|AF|•|y_B|=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用漸近線方程，關(guān)鍵求出B的坐標(biāo)；解此類面積的題目時(shí)，注意要使三角形的底或高與坐標(biāo)軸平行或重合，以簡化計(jì)算．