已知函數(shù)的最小值為0,其中。

(1)求a的值

(2)若對任意的,有成立,求實(shí)數(shù)k的最小值

(3)證明

 

【答案】

(1)(2)(3)利用放縮法來證明

【解析】

試題分析:(1)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013050809004849056863/SYS201305080901112873443300_DA.files/image004.png">

,由,得,

當(dāng)x變化時(shí),的變化情況如下表:

x

0

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(Ⅱ)解:當(dāng)時(shí),取,有,故不合題意。

當(dāng)時(shí),令,即。

,令,得

-1。

(1)  當(dāng)時(shí),上恒成立,因此上單

調(diào)

(2)  遞減,從而對于任意的,總有,即

上恒成立。故符合題意。

(2)當(dāng)時(shí),,對于,,故內(nèi)單調(diào)遞增,因此當(dāng)取時(shí),,即不成立。

不合題意,

綜上,k的最小值為。

(Ⅲ)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊=右邊,所以不等式成立。

當(dāng)時(shí),

。

在(Ⅱ)中取,得,從而

,

所以有

綜上,

考點(diǎn):函數(shù)恒成立問題;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

點(diǎn)評:本題考查恒成立問題,第二問構(gòu)造新函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為g(x)的最大值小于等于0,

即可,這種轉(zhuǎn)化的思想在高考中經(jīng)常會出現(xiàn),我們要認(rèn)真體會.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)滿足下列條件:
①當(dāng)x∈R時(shí),函數(shù)的最小值為0,且f(-1+x)=f(-1-x)成立;
②當(dāng)x∈(0,5)時(shí),都有x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.求:
(1)f(1)的值;
(2)函數(shù)f(x)的解析式;
(3)求最大的實(shí)數(shù)m(m>1),使得存在t∈R,只要當(dāng)x∈[1,m]時(shí),就有f(x+t)≤x成立.

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已知函數(shù)的最小值為,最小正周期為16,且圖象經(jīng)過點(diǎn)(6,0)求這個(gè)函數(shù)的解析式.

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已知函數(shù)的最小值為0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若對任意的成立,求實(shí)數(shù)的最小值;

(Ⅲ)證明).

【解析】(1)解: 的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118530600520067_ST.files/image010.png">

,得

當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下表:

x

-

0

+

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(2)解:當(dāng)時(shí),取,有,故時(shí)不合題意.當(dāng)時(shí),令,即

,得

①當(dāng)時(shí),上恒成立。因此上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

②當(dāng)時(shí),,對于,,故上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時(shí),,即不成立.

不合題意.

綜上,k的最小值為.

(3)證明:當(dāng)n=1時(shí),不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

當(dāng)時(shí),

                      

                      

在(2)中取,得 ,

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上,,

 

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