Question

等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為正數(shù)，a_ka_k-2=a₆²=1024，a_k-3=8，若對(duì)滿足a_t＞128的任意t，都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-6]
B．（-∞，-8]
C．（-∞，-10]
D．（-∞，-12]

Answer 1

【答案】分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，可得k=7，求得 a₄ 和 a₆ 的值，從而求得公比及通項(xiàng)公式，得到滿足a_t＞128=2⁷ 的  t 的最小值等于 9，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值等于-8，從而得到-8≥m．
解答：解：由題意有可得 k+k-2=12，∴k=7，∴a₄=8．又a₆²=1024，∴a₆=32，
∴公比q=2，a_n=a₄•q^n-4=8×2^n-4=2^n-1，故滿足a_t＞128=2⁷ 的  t 的最小值等于 9．
===-1-，在[9，+∞）上是增函數(shù)，
故t 取最小值9時(shí)，有最小值為-8，由題意可得-8≥m，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是 （-∞，-8]，
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，求得 有最小值為
-8，是解題的關(guān)鍵．