Question

已知函數(shù)f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x) ， x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性；
（2）對(duì)于函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有f（1-t）+f（1-t²）＜0，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）判斷奇偶性，先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，若不是，則為非奇非偶函數(shù)；若是，再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，得出結(jié)論，按照定義去判斷，取值，作差，變形，判斷符號(hào)，得出結(jié)論．
（2）先移項(xiàng)，得f（1-t）＜-f（1-t²），根據(jù)奇函數(shù)，f（1-t）＜f（t²-1），再根據(jù)單調(diào)性，求出t的取值范圍，注意函數(shù)的定義域優(yōu)先原則．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，又f（-x）=

a

a2-1

（a^-x-a^x）=-f（x）
所以f（x）是奇函數(shù)
當(dāng)a＞1，函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)．
證明：在R上任取x₁＜x_2，
則 f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2)  (

ax1 ax2 +1

ax1ax2

)
因?yàn)閤₁＜x₂，又a＞1，所以 ax1＜ax2，ax1-ax2＜0，

ax1ax2+1

ax1ax2

＞0，

a

a2-1

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
所以f（x₁）＜f（x₂）．
所以函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
同理，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
（2）由f（1-t）+f（1-t²）＜0，可得f（1-t）＜-f（1-t²）．
由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（1-t）＜f（t²-1）．
又函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，所以1-t＜t²-1，即t²+t-2＞0．

-1＜1-t＜1 -1＜1-t2＜1 t2+t-2＞0

∴1＜t＜

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的證明，抽象函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用，關(guān)鍵是正確應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)解題．