Question

已知等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，且a₄-a₁=6；在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=

1

(an+2)lgbn2

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，以及和T_n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)性質(zhì)求出a_n=2n．由此得到在等比數(shù)列{b_n}中，b₁=2，b₃=8，q＞0，從而求出bn=2n．
（2）由c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂項(xiàng)求和法能求出T_n的最小值．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}中，公差d≠0，
a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，且a₄-a₁=6，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），解得a₁=d，或d=0，
若d=0，與a₄-a₁=6矛盾，故舍去，
∴a_n=nd，又a₄-a₁=3d=6，
解得d=2，∴a_n=2n．
∵在等比數(shù)列{b_n}中，公比q＞0，且b₁=a₁，b₃=a₄，
∴b₁=2，b₃=8，q＞0，
∴q=

b3 b1

=2，∴bn=2n．
（2）c_n=

1

(an+2)lgbn2

=

1

4lg2

•

1

n(n+1)

=

1

4lg2

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

4lg2

（1-

1

2

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

4lg2

（1-

1

n+1

），
∵T_n=

1

4lg2

（1-

1

n+1

）是增數(shù)列，
∴T_n的最小值是T₁=

1

8lg2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．