Question

已知函數(shù)f（x）=（nx-n+2）•e^x，（其中n∈R，e為自然數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]的最大值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=n²x²-13nx-30（n＞1，n∈N^*），當(dāng)x＞0時(shí)，若2f′（x）＞g（x）恒成立，求最大正整數(shù)n．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e^x，再討論①n=0時(shí)，②n＞0時(shí)，③n＜0時(shí)的情況，從而綜合得出f（x）max=

-n•e- 2 n ，n＜-2 2e，         n≥-2

；
（Ⅱ）由題設(shè)：函數(shù)g（x）=n²x²-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），得2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），得當(dāng)x＞0時(shí)，p（x）＞0（*）恒成立，從而p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，設(shè)h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]時(shí)h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）時(shí)h（x）＜0，故所求的最大正整數(shù)n=14．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e^x，
①n=0時(shí)，f′（x）=2e^x＞0，f（x）在[0，1]上遞增，
∴f（x）_max=f（1）=2e，
②n＞0時(shí)，f′（x）=（nx+2）e^x=n（x+

2

n

）e^x，f（x）在（-

2

n

，+∞）上遞增，
∴f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，此時(shí)f（x）_max=f（1）=2e，
③n＜0時(shí)，f（x）=（nx+2）e^x=n（x+

2

n

）e^x，
f（x）在（-∞，-

2

n

）上遞增，在（-

2

n

，+∞）上遞減，
若0＜-

2

n

＜1，即n＜-2時(shí)，故f（x）在[0，-

2

n

]上為增函數(shù)，在[-

2

n

，1]上為減函數(shù)，
此時(shí)f（x）_max=f（-

2

n

）=-n•e-

2

n

，
若-

2

n

≥1，即-2≤n＜0時(shí)，f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，則此時(shí)f（x）_max=f（1）=2e，
綜上：f（x）max=

-n•e- 2 n ，n＜-2 2e，         n≥-2

；
（Ⅱ）由題設(shè)：函數(shù)g（x）=n²x²-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N^*），
f′（x）=（nx+2）•e^x，
當(dāng)x＞0時(shí)，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e^x＞（nx+2）（nx-15），
∴2e^x＞（nx-15），設(shè)p（x）=2e^x-（nx-15），當(dāng)x＞0時(shí)，p（x）＞0（*）恒成立，
∵p′（x）=2e^x-n，故p（x）在（0，ln

n

2

）上遞減，在（ln

n

2

，+∞）遞增，
故（*）?p（x）_min=p（ln

n

2

）=

1

2

（n-nln

n

2

+15）＞0，
設(shè)h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，
則h′（x）=-ln

x

2

，
故h（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
而h（2e²）=15=15-2e²＞0，
且h（15）=15（lne²-ln

15

2

）＜0，
故存在x₀∈（2e²，15）使h（x₀）=0，且x∈[2，x₀]時(shí)h（x）＞0，x∈（x₀，+∞）時(shí)h（x）＜0，
又∵h(yuǎn)（1）=16-ln

1

2

＞0，14＜2e²＜15，
故所求的最大正整數(shù)n=14．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．