Question

20．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且向量$\overrightarrow m$=（cos2B-1，2sinA）與向量$\overrightarrow n$=（$\sqrt{2}$sinC，-1）平行．
（1）若a=$\sqrt{2}$，b=1，求c；
（2）若$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$＞4sin（A+C），求cosB的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線(xiàn)的條件，建立等式，利用正弦定理，將角轉(zhuǎn)化為邊，即可得到結(jié)論；
（2）由$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$＞4sin（A+C），利用余弦定理及已知可得（5$\sqrt{2}$cosB+7）（$\sqrt{2}$cosB-1）＞0，結(jié)合范圍-1＜cosB＜1，即可求得cosB的求值范圍．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（cos2B-1，2sinA）與向量$\overrightarrow n$=（$\sqrt{2}$sinc，-1）平行，
∴$\sqrt{2}$sinC•2sinA=1-cos2B．
∴$\sqrt{2}$sinC•sinA=sin²B．
由正弦定理得b²=$\sqrt{2}$ac．
∵a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴c=$\frac{1}{2}$；
（2）∵$\frac{c}{a}$+$\frac{a}{c}$＞4sin（A+C），
∴a²+c²=b²+2accosB•a²+c²＞4acosB，
∴8sin²B=8（1-cos²B）＜1+2cos²B+2$\sqrt{2}$cosB，
即（5$\sqrt{2}$cosB+7）（$\sqrt{2}$cosB-1）＞0，
∴cosB＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$或cosB＜-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
又cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\sqrt{2}ac}{2ac}$≥$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c是取“=”，
且cosB＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，基本不等式的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．