Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$-（x-$\sqrt{e}$）（x-$\frac{1}{2}$）（其中x∈（0，+∞）），g（x）=lnx和函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{f（x）≥g（x）}\\{g（x）}&{f（x）＜g（x）}\end{array}\right.$，若方程h（x）=kx有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{e}}{2e}$）
• C． （$\frac{\sqrt{e}}{2e}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{1}{e}$，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）

Answer 1

分析 作出函數(shù)圖象，求出切線斜率，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出k的范圍．

解答 解：作出h（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

設(shè)直線y=kx與曲線g（x）=lnx相切，切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則有$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=k{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{\frac{1}{{x}_{0}}=k}\end{array}\right.$，解得k=$\frac{1}{e}$．
∵h(yuǎn)（x）=kx有四個(gè)不同的解，
∴直線y=kx與f（x）有2個(gè)交點(diǎn)，y=kx與g（x）有2個(gè)交點(diǎn)，
∴k＜$\frac{1}{e}$，排除D，
設(shè)f（x）與g（x）的交點(diǎn)為A，顯然A在第一象限，即k_OA＞0，
∴k＞k_OA．排除A，B．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．