Question

2．甲、乙兩企業(yè)生產(chǎn)同一種型號零件，按規(guī)定該型號零件的質(zhì)量指標(biāo)值落在[45，75）內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，從兩個企業(yè)生產(chǎn)的零件中各隨機抽出了500件，測量這些零件的質(zhì)量指標(biāo)值，得結(jié)果如表：
甲企業(yè)：

分組	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
頻數(shù)	10	40	115	165	120	45	5

乙企業(yè)：

分組	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）	[65，75）	[75，85）	[85，95）
頻數(shù)	5	60	110	160	90	70	5

（1）已知甲企業(yè)的500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差s²=142，該企業(yè)生產(chǎn)的零件質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)$\overline{x}$（注：求$\overline{x}$時，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表），σ²近似為樣本方差s²，試根據(jù)該企業(yè)的抽樣數(shù)據(jù)，估計所生產(chǎn)的零件中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品的概率（精確到0.001）
（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并問能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”

	甲廠	乙廠	合計
優(yōu)質(zhì)品
非優(yōu)質(zhì)品
合計

附注：
參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{142}$≈11.92
參考公式：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9973．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.50	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）計算甲企業(yè)的平均值，得出甲企業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X～N（60，142），計算所求的概率值；
（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，計算K²，對照臨界值表得出結(jié)論．

解答 解：（1）計算甲企業(yè)數(shù)據(jù)的平均值為：
$\overline{x}$=$\frac{1}{500}$×（30×10+40×40+50×115+60×165+70×120+80×45+90×5）=60，
∴μ=60，σ²=142，
且甲企業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值X服從正態(tài)分布X～N（60，142），
又σ=$\sqrt{142}$≈11.92，
則P（60-11.92＜X＜60+11.92）=P（48.08＜X＜71.92）=0.6826，
P（X＞71.92）=$\frac{1-P（48.08＜X＜71.92）}{2}$=$\frac{1-0.6826}{2}$=0.1587≈0.159，
估計所生產(chǎn)的零件中，質(zhì)量指標(biāo)值不低于71.92的產(chǎn)品的概率為0.159；
（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，

	甲廠	乙廠	合計
優(yōu)質(zhì)品	400	360	760
非優(yōu)質(zhì)品	100	140	240
合計	500	500	1000

計算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{1000{×（400×140-100×360）}^{2}}{760×240×500×500}$≈8.772＞6.635，
對照臨界值表得出，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件質(zhì)量有差異”．

點評 本題主要考查了獨立性檢驗與正態(tài)分布的特點及概率求解問題，是中檔題．