已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，
2
2
），右焦點(diǎn)為F2．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-
1
2
，線段AB的中垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，
2
2
），建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，求出直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合向量的數(shù)量積，M(-
1
2
，m)在橢圓的內(nèi)部，利用換元法，即可求
F2P
•
F2Q
的取值范圍．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)（1，
2
2
），
∴
a2-b2=1
1
a2
+
1
2
b2
=1
，
∴a2=2，b2=1…（2分）
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1…（4分）
（Ⅱ）由題意，當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x=-
1
2
，此時(shí)P(-
2
，0)、Q(
2
，0)，
得
F2P
•
F2Q
=（-
2
-1，0）•（
2
-1，0）=1-2=-1．…（5分）
當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線AB的斜率為k（k≠0），M(-
1
2
，m)，A（x1，y1），B（x2，y2）
由線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-
1
2
，得(x1+x2)+2(y1+y2)•
y1-y2
x1-x2
=0，則-1+4mk=0，
故4mk=1．                   …（6分）
此時(shí)，直線PQ斜率為k1=-4m，PQ的直線方程為y-m=-4m(x+
1
2
)．
即y=-4mx-m．
聯(lián)立
y=-4mx-m
x2
2
+y2=1
消去y，整理得（32m2+1）x2+16m2x+2m2-2=0．
設(shè)P（x3，y3），Q（x4，y4）
∴x3+x4=-
16m2
32m2+1
，x3x4=
2m2-2
32m2+1
． …（9分）
于是
F2P
•
F2Q
=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-(x3+x4)+1+(4mx3+m)(4mx4+m)
=(4m2-1)(x3+x4)+(16m2+1)x3x4+m2+1=
(1+16m2)(2m2-2)
32m2+1
+
(4m2-1)(-16m2)
32m2+1
+1+m2
=
19m2-1
32m2+1
．…（11分）
由于M(-
1
2
，m)在橢圓的內(nèi)部，故0＜m2＜
7
8

令t=32m2+1，1＜t＜29，則
F2P
•
F2Q
=
19
32
-
51
32t
．   …（12分）
又1＜t＜29，所以-1＜
F2P
•
F2Q
＜
125
232
．
綜上，
F2P
•
F2Q
的取值范圍為(-1，
125
232
)．         …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

∫
3
0
x2dx=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出如下四個(gè)命題：
①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題；
②命題“若a＞b，則2a＞2b-1”的否命題為“若a≤b，則2a≤2b-1”；
③命題“對(duì)任意的x∈R，x2+1≥1”的否定是“存在x∈R，x2+1＜1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要條件，其中不正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)且滿足f（x+1）+f（x-1）=x2-2x-1，求函數(shù)f（x）解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}，Sn是其前n項(xiàng)的和，且滿足a1=2，對(duì)一切n∈N*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，設(shè)bn=an+n．
（1）求a2；
（2）求證：數(shù)列{bn} 是等比數(shù)列；
（3）求使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
＞
40
81
成立的最小正整數(shù)n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
sin2x
sinx
+2sinx．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（2）若f（α）=2，α∈[0，π]，求f（α+
π
12
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為8，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)M（1，0）在以PQ為直徑的圓上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

甲、乙兩人玩投籃游戲，規(guī)則如下：兩人輪流投籃，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投籃，結(jié)束游戲，已知甲每次投中的概率為
1
4
，乙每次投中的概率為
1
3
，求游戲結(jié)束時(shí)．
（Ⅰ）甲、己投籃次數(shù)之和為3的概率；
（Ⅱ）乙投籃次數(shù)不超過(guò)1次的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知異面直線a，b，過(guò)不在a，b上的任意一點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：
①一定可作直線l與a，b都相交；
②一定可作直線l與a，b都垂直；
③一定可作直線l與a，b都平行；
其中所有正確命題的序號(hào)是
 
．

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