Question

某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單

位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克．

①求a的值；

②若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大．

 

Answer 1

①a＝2②4元/千克

【解析】①因?yàn)?/span>x＝5時(shí)，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.

②由①知，y＝＋10(x－6)2，

所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．

當(dāng)3<x<4時(shí)，f′(x)>0；4<x<6時(shí)，f′(x)<0.∴f(x)在(3,4)上遞增，(4,6)上遞減．

當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取得最大值，f(4)＝42.

即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得利潤(rùn)最大．