Question

8．數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）．
（1）設(shè)b_n=a_n-3n，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過對a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊）變形可知a_n-3n=2[a_n-1-3（n-1）]，進而可知數(shù)列{b_n}是以-2為首項、2為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知a_n=3n-2ⁿ，進而利用分組法求和計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵a_n=2a_n-1-3n+6（n≥2，n∈N₊），
∴a_n-3n=2[a_n-1-3（n-1）]，
又∵a₁=1，
∴b₁=a₁-3=1-3=-2，
∴數(shù)列{b_n}是以-2為首項、2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知b_n=a_n-3n=-2•2^n-1=-2ⁿ，
∴a_n=3n-2ⁿ，
∴S_n=3•$\frac{n（n+1）}{2}$-$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=$\frac{3}{2}$（n²+n）+2-2ⁿ⁺¹．

點評 本題考查等比數(shù)列的判定以及數(shù)列的通項及前n項和，利用分組法求和是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．