Question

16．如圖，在三棱錐A-BCD中，已知三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，AB=BD，∠CBA=∠CBD=$\frac{2π}{3}$，則直線AD與平面BCD所成角的大小是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，連接OD．根據(jù)三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，可得AO⊥平面BCD，AO⊥OD．因此∠ADO是直線AD與平面BCD所成的角．通過證明△OBA≌△OBD，即可得出．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)A在平面ABC內(nèi)作AO⊥BC，垂足為點(diǎn)O，連接OD．
∵三角形ABC和三角形DBC所在平面互相垂直，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥OD．
∴∠ADO是直線AD與平面BCD所成的角．
∵AB=BD，∠CBA=∠CBD=$\frac{2π}{3}$，
∴∠ABO=∠DBO，又OB公用，
∴△OBA≌△OBD，
∴∠BOD=∠AOB=$\frac{π}{2}$．OA=OD．
∴∠$ADO=\frac{π}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、空間角、三角形全等判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．