Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC．
（1）求證：AC⊥BB₁；
（2）若AB=AC=A₁B=2，在棱B₁C₁上確定一點P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值為

2 5

5

．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì),二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)先證明AC⊥平面ABB₁A₁，即可證明AC⊥BB₁；
（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，因為A₁B⊥平面ABC，A₁B?平面ABB₁A₁，
所以平面ABB₁A₁⊥平面ABC，
因為平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，AB⊥AC，
所以AC⊥平面ABB₁A₁，所以AC⊥BB₁．
（2）如圖，建立以A為原點的空間直角坐標系，
則C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
則

B1C1

=

BC

=（2，-2，0），
設

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，-2λ，0)，λ∈[0，1]，
則P（2λ，4-2λ，2），
設平面PAB的一個法向量為

n

=（x，y，z），
因為

AP

=(2λ，  4-2λ，  2)，

AB

=(0， 2， 0)，

n • AP =0 n • AB =0

，
即

2λx+(4-2λ)y+2z=0 2y=0

，所以

z=-λx y=0

，
令x=1得

n

=（1，0，-λ），
而平面ABA₁的一個法向量是

m

=（1，0，0），
則|cos＜

n

，

m

＞|

| m • n |

| m || n |

=

1

1+λ2

=

2 5

5

，
解得λ=

1

2

，即P為棱B₁C₁的中點．

點評：本題主要考查線面垂直的判斷和性質(zhì)，以及二面角的應用，建立空間直角坐標系利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．