Question

橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(1，

3

2

)且離心率為

1

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，使用待定系數(shù)法即可；
（2）要證明直線系y=kx+m過定點(diǎn)，就要找到其中的參數(shù)k，m之間的關(guān)系，把雙參數(shù)化為但參數(shù)問題解決，這只要根據(jù)直線l：y=kx+m與橢圓C相交A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)即可，這個(gè)問題等價(jià)于橢圓的右頂點(diǎn)與A，B的張角是直角．

解答：解：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得：（3+4k²）x2+8kmx+4（m²-3）=0，
∵△＞0，∴3+4k²-m²＞0，
x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

∴y1y2=

3(m2-4k2)

3+4k2

（6分）
∵以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，∴k_AD•k_BD=-1，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴7m²+16mk+4k²=0，
∴m₁=-2k，m2=-

2

7

k，且均滿足3+4k²-m²＞0，（9分）
當(dāng)m₁=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），則直線過定點(diǎn)（2，0）與已知矛盾
當(dāng)m1=-

2

7

k時(shí)，l的方程為y=k(x-

2

7

)，則直線過定點(diǎn)(

2

7

，0)
∴直線l過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(

2

7

，0)（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線與方程．直線系過定點(diǎn)時(shí)，必需是直線系中的參數(shù)為但參數(shù)，對(duì)于含有雙參數(shù)的直線系，就要找到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系把直線系方程化為單參數(shù)的方程，然后把x，y當(dāng)作參數(shù)的系數(shù)把這個(gè)方程進(jìn)行整理，使這個(gè)方程關(guān)于參數(shù)無關(guān)的成立的條件就是一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線系過的定點(diǎn)．