Question

已知函數(shù)，（其中常數(shù)m＞0）
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)m∈[3，+∞）時(shí)，曲線y=f（x）上總存在相異兩點(diǎn)P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲線y=f（x）在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行，求x₁+x₂的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，
（x＞0）
令f'（x）＜0，可得或x＞2；令f'（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減
故
（2）（x＞0，m＞0）
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，則，故x∈（0，m）∪時(shí)，f′（x）＜0；x∈（m，）時(shí)，f'（x）＞0
此時(shí)f（x）在（0，m），上單調(diào)遞減，在（m，）單調(diào)遞增；
②當(dāng)m=1時(shí)，則，故x∈（0，1），有恒成立，
此時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
③當(dāng)m＞1時(shí)，則，
故∪（m，1）時(shí)，f'（x）＜0；時(shí)，f'（x）＞0
此時(shí)f（x）在，（m，1）上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
（3）由題意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即 ?
∵x₁≠x₂，由不等式性質(zhì)可得恒成立，又x₁，x₂，m＞0
∴?對(duì)m∈[3，+∞）恒成立
令，則對(duì)m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，∴
故
從而“對(duì)m∈[3，+∞）恒成立”等價(jià)于“”
∴x₁+x₂的取值范圍為
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)，我們可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可求f（x）的極大值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）曲線y=f（x）在點(diǎn)P、Q處的切線互相平行，意味著導(dǎo)數(shù)值相等，由此作為解題的突破口即可．
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，我們可解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵