Question

13．已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，且滿足a₂+b₃=7，a₄+b₅=21．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)；
（2）令${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程組，即可求得求得{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，即可求得數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)；
（2）由（1）求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d+_{1}{q}^{2}=7}\\{{a}_{1}+3d+_{1}{q}^{4}=21}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{4_{1}+d=5}\\{16_{1}+3d=19}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=1}\\{_{1}=1}\end{array}\right.$，
a_n=a₁+（n-1）d=n+1，b_n=b₁q^n-1=2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n+1，{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1；
（2）由（1）可知${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=$\frac{2}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{{2}^{1}}$+…+$\frac{n+1}{{2}^{n-1}}$，①
則$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{2}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，②
①-②整理得：$\frac{1}{2}$S_n=2+（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$，
=3-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=6-$\frac{n+3}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列及等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查“錯位相減法”求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．