Question

設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程（x²-ax+1）（x²-bx+1）=0的4個實(shí)數(shù)根構(gòu)成以q為公比的等比數(shù)列，若q∈[2-

3

，2]，則ab的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用等比數(shù)列的性質(zhì)，確定方程的根，由韋達(dá)定理，表示出ab，再換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可確定ab的取值范圍．

解答： 解：設(shè)4個實(shí)數(shù)根依次為m，mq，mq²，mq³，
由等比數(shù)列性質(zhì)，不妨設(shè)m，mq³為x²-ax+1=0的兩個實(shí)數(shù)根，則mq，mq²為方程x²-bx+1=0的兩個根，
由韋達(dá)定理m²q³=1，m+mq³=a，mq+mq²=b，
故ab=（m+mq³）（mq+mq²）=m²（1+q³）（q+q²）=

1

q3

(1+q3)(q+q2)=(q+

1

q

+2)(q+

1

q

-1)，
設(shè)q+

1

q

=t，∵q∈[2-

3

，2]，∴t∈[2，4]，
故f（t）=（t+2）（t-1）的值域?yàn)閇4，18]，即ab的取值范圍是[4，18]．
故答案為：[4，18]．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．