Question

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，.

（1）證明：是等比數(shù)列；

（2）若，中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若是遞減數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義即可得證；

（2）由等差中項(xiàng)可得，再運(yùn)算即可得解；

（3）由是遞減數(shù)列，則恒成立，再利用最值法即可得解.

解：（1）由，所以，

又，所以，

故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，

所以，

設(shè)中存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列，

則，即，

化簡(jiǎn)得：，又 ，即此方程無(wú)解，

故不存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列；

（3）由（1）得，

由是遞減數(shù)列，則，

即恒成立，

即恒成立，

又當(dāng)時(shí)，取最小值，

即，又，

故的取值范圍為：.