若方程x2+(
2
sin2θ)x+2cosθ=0
(其中0<θ<π)的兩實(shí)根為α、β,數(shù)列1,
1
α
+
1
β
,(
1
α
+
1
β
)2
,…的所有項(xiàng)的和為2-
2
,試求θ的值.
分析:由方程x2+(
2
sin2θ)x+2cosθ=0
(其中0<θ<π)的兩實(shí)根為α、β,知△=(
2
sin2θ)2-4×2cosθ≥0
,α+β=-
2
sin2θ,αβ=2cosθ
,故
1
α
+
1
β
=-
2
sinθ
,由此能求出θ的值.
解答:解:∵方程x2+(
2
sin2θ)x+2cosθ=0
(其中0<θ<π)的兩實(shí)根為α、β,
△=(
2
sin2θ)2-4×2cosθ≥0
(1)
α+β=-
2
sin2θ,αβ=2cosθ
(4分)
1
α
+
1
β
=
α+β
αβ
=
-
2
sin2θ
2cosθ
=
-
2
•2sinθcosθ
2cosθ
=-
2
sinθ
,
由已知|
1
α
+
1
β
|<1∴|1-
2
sinθ|<1即|sinθ|<
2
2

而θ∈(0,π)∴0<sinθ<
2
2
…(2)
(8分)
1
1-(
1
α
+
1
β
)
=2-
2
1
1+
2
sinθ
=2-
2

sinθ=
1
2
滿足(2)
θ=
π
6
5
6
π,且θ=
π
6
不滿足(1)
θ=
5
6
π
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查根與系數(shù)的關(guān)系,具體涉及到三角函數(shù)的恒等變換和基本性質(zhì),解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
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