Question

7．設(shè){a_n}是正項數(shù)列，其前n項和S_n滿足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），則a_n=2n+1．

Answer 1

分析 4S_n=（a_n-1）（a_n+3），當n≥2時，4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），兩式相減得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，可得a_n-a_n-1=2，當n=1，得a₁=3，因此a_n=2n+1．

解答 解：∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
∴當n≥2時，4s_n-1=（a_n-1-1）（a_n-1+3），
兩式相減，整理得：2a_n+2a_n-1=a_n²-a_n-1²，
∵{a_n}是正項數(shù)列，
∴a_n-a_n-1=2，
∵4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
令n=1，得a₁=3，
∴a_n=2n+1，
故答案為：2n+1．

點評 本題考查數(shù)列的遞推式，解題時要注意數(shù)列通項公式的求解方法，考查計算能力，屬于中檔題．