Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₁=2，a₃=18．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．試比較P_n與Q_n的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）設(shè){a_n}的公比為q，由a₃=a₁q²得q²=

a3

a1

=9，q=±3．
①當(dāng)q=-3時(shí)，a₁+a₂+a₃=2-6+18=14＜20，
這與a₁+a₂+a₃＞20矛盾，故舍去．
②當(dāng)q=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=2+6+18=26＞20，故符合題意．
∴a_n=a₁q^n-1=2×3^n-1
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，由b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃=26，
得4b₁+

4×3

2

d=26，結(jié)合b₁=2，解之得d=3，
所以b_n=b_n+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
綜上所述，數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2×3^n-1、b_n=3n-1；
（2）∵b₁，b₄，b₇，…，b_3n-2組成以3d為公差的等差數(shù)列，
∴P_n=nb₁+

n(n-1)

2

•3d=

9

2

n²-

5

2

n；
同理可得：b₁₀，b₁₂，b₁₄，…，b_2n+8組成以2d為公差的等差數(shù)列，且b₁₀=29，
∴Q_n=nb₁₀+

n(n-1)

2

•2d=3n²+26n．
因此，P_n-Q_n=（

9

2

n²-

5

2

n）-（3n²+26n）=

3

2

n（n-19）．
所以對(duì)于正整數(shù)n，當(dāng)n≥20時(shí)，P_n＞Q_n；當(dāng)n=19時(shí)，P_n=Q_n；當(dāng)n≤18時(shí)，P_n＜Q_n．