Question

已知正項數(shù)列{a_n}中a₁=1，前n項和S_n滿足2S_n=a_na_n+1；數(shù)列{b_n}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和
（3）記f（n）=，T_n=，求證：．

Answer 1

解：（1）因為2S_n=a_na_n+1；所以n=1時2S₁=a₁•a₂，a₁=1，所以a₂=2，
∵2S_n=a_na_n+1；∴2S_n+1=a_n+1a_n+2；
可得2a_n+1=a_n+1a_n+2-a_na_n+1；
∵a_n＞0∴a_n+2-a_n=2；
∵a₁=1，a₂=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
a_n=n．
（2）數(shù)列{b_n}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列，所以b_n=2ⁿ，數(shù)列{a_nb_n}的前n項和
S_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1×2+2×2²+…+n×2ⁿ…①
2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹…②
所以②-①得
S_n=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+…+2ⁿ）=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．
（3）證明∵f（n）=，
T_n=
=，
T₁==，T₂===，
當n≥3時T_n=

≥
=
又T_n=


=
綜上
分析：（1）通過2S_n=a_na_n+1；推出數(shù)列的遞推關(guān)系式，推出數(shù)列是等差數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）通過數(shù)列{b_n}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列，求出b_n，利用錯位相減法求解數(shù)列{a_nb_n}的前n項和．
（3）通過f（n）=，化簡T_n=的表達式，求出T₁，T₂，當n≥3時轉(zhuǎn)化T_n，與T_n，然后證明．
點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用，數(shù)列與不等式的綜合應用，考查數(shù)列求和的方法，考查分析問題解決問題的能力．