已知正項數(shù)列{an}中a1=1,前n項和Sn滿足2Sn=anan+1;數(shù)列{bn}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和
(3)記f(n)=數(shù)學公式,Tn=數(shù)學公式,求證:數(shù)學公式

解:(1)因為2Sn=anan+1;所以n=1時2S1=a1•a2,a1=1,所以a2=2,
∵2Sn=anan+1;∴2Sn+1=an+1an+2
可得2an+1=an+1an+2-anan+1;
∵an>0∴an+2-an=2;
∵a1=1,a2=2,
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列,
an=n.
(2)數(shù)列{bn}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列,所以bn=2n,數(shù)列{anbn}的前n項和
Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1×2+2×22+…+n×2n…①
2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1…②
所以②-①得
Sn=n×2n+1-(2+22+…+2n)=(n-1)2n+1+2.
(3)證明∵f(n)=
Tn=
=,
T1==,T2===,
當n≥3時Tn=


=
又Tn=


=
綜上
分析:(1)通過2Sn=anan+1;推出數(shù)列的遞推關(guān)系式,推出數(shù)列是等差數(shù)列,然后求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)通過數(shù)列{bn}是首項和公比都等于2的等比數(shù)列,求出bn,利用錯位相減法求解數(shù)列{anbn}的前n項和.
(3)通過f(n)=,化簡Tn=的表達式,求出T1,T2,當n≥3時轉(zhuǎn)化Tn,與Tn,然后證明
點評:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合應用,數(shù)列與不等式的綜合應用,考查數(shù)列求和的方法,考查分析問題解決問題的能力.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足:a1=3,(2n-1)an+2=(2n+1)an-1+8n2(n>1,n∈N*
(1)求證:數(shù)列{
an
2n+1
}
為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項an
(2)設(shè)bn=
1
an
,求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,并求Sn的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

定義:稱
n
a1+a2+…+an
為n個正數(shù)a1,a2,…,an的“均倒數(shù)”,已知正項數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為
1
2n
,則
lim
n→∞
nan
sn
( 。
A、0
B、1
C、2
D、
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列an中,a1=2,點(
an
,an+1)
在函數(shù)y=x2+1的圖象上,數(shù)列bn中,點(bn,Tn)在直線y=-
1
2
x+3
上,其中Tn是數(shù)列bn的前項和.(n∈N+).
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an2+2an(n∈N+),令bn=log2(an+1).
(1)求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
(2)記Tn為數(shù)列{
1
log2bn+1log2bn+2
}
的前n項和,是否存在實數(shù)a,使得不等式Tn<log0.5(a2-
1
2
a)
對?n∈N+恒成立?若存在,求出實數(shù)a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知正項數(shù)列{an},Sn=
1
8
(an+2)2

(1)求證:{an}是等差數(shù)列;
(2)若bn=
1
2
an-30
,求數(shù)列{bn}的前n項和.

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