Question

已知函數(shù)F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，G(x)=-

1-(x-k)2

(m，k∈R)
（1）若m，k是常數(shù)，問當(dāng)m，k滿足什么條件時(shí)，函數(shù)F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值時(shí)x的值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)對(duì)（m，k）同時(shí)滿足條件：（甲）F（x）取最大值時(shí)x的值與G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？
（3）把滿足條件（甲）的實(shí)數(shù)對(duì)（m，k）的集合記作A，設(shè)B={（m，k）|k²+（m-1）²≤r²，r＞0}，求使A⊆B的r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意函數(shù)F（x）有最大值，應(yīng)滿足

k＜0 4+2m-m2≥0

，即二次函數(shù)有最大值，解得k、m、x的取值；
（2）由函數(shù)F（x）有最大值，G（x）有最小值；得m、k的值，求出滿足條件的實(shí)數(shù)對(duì)（m，k）；
（3）由A⊆B知，k⁴+（m-1）²=5成立時(shí)，k²+（m-1）²≤r²恒成立，求出r的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
∴當(dāng)

k＜0 4+2m-m2≥0

時(shí)，
解得k＜0且1-

5

≤m≤1+

5

；
即當(dāng)x=

4+2m-m2

k

時(shí)，F(xiàn)（x）有最大值．
（2）∵函數(shù)F(x)=kx2-2

4+2m-m2

x，
當(dāng)x=

4+2m-m2

k

時(shí)，F(xiàn)（x）有最大值；
函數(shù)G（x）=-

1-(x-k)2

，
x=k時(shí)，G（x）有最小值；
∴

4+2m-m2

k

=k，得4+2m-m²=k⁴，
∴k⁴+（m-1）²=5，其中k為負(fù)整數(shù)，
當(dāng)k=-1時(shí)，m=-1或者3，
∴存在實(shí)數(shù)對(duì)（3，-1），（-1，-1）滿足條件．
（3）由條件A⊆B知，
當(dāng)k⁴+（m-1）²=5成立時(shí)，k²+（m-1）²≤r²恒成立，
因此，r2≥-k4+k2+5=-(k2-

1

2

)2+

21

4

恒成立，
當(dāng)k2=

1

2

時(shí)，右邊取得最大值

21

4

，
因此r2≥

21

4

，
∵r＞0，
∴r≥

21

2

；
∴r的取值范圍是{r|r≥

21

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的最值以及函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，是綜合性的題目．