【題目】為拋物線的焦點，過點的直線與交于、兩點，的準線與軸的交點為，動點滿足．

（1）求點的軌跡方程；

（2）當四邊形的面積最小時，求直線的方程．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出F，E的坐標，設l方程為x﹣my﹣1=0，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出AB中點坐標，由向量加法的幾何意義可知AB的中點也是EP的中點，利用中點坐標公式得出P的軌跡關于m的參數(shù)方程，轉化為普通方程即可；

（2）利用弦長公式和點到直線的距離公式計算|AB|，E到l的距離d，得出S關于m的函數(shù)，求出S取得最小值時的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．

（1）拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），∴E（﹣1，0）．

設直線l的方程為x﹣my﹣1=0．

聯(lián)立方程組，消元得：y2﹣4my﹣4=0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），則y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．

∴AB的中點坐標為M（2m2+1，2m）．

∵=+=2，∴M為EP的中點．

∴，∴，即y2=4x﹣12．

∴點P的軌跡方程為y2=4x﹣12．

（2）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴|AB|===4（m2+1）．

E到直線l：x﹣my﹣1=0的距離d=，

∴S△ABE=|AB|d=4，

∵=+，∴四邊形EAPB是平行四邊形，

∴平行四邊形EAPB的面積S=2S△ABE=8．

∴當m=0時，S取得最小值8．

此時直線l的方程為x﹣1=0．

練習冊系列答案
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