分析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,由題意得,$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調(diào)遞增,d>0,q>1,可得an=3n-2,bn=2n-1,利用通項公式即可得出.
(2)設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1,且bn=3n,所以c1=1,所以cn=dn+1-d.因為b1=3是{cn}中的項,所以設(shè)b1=cn,即d(n-1)=2.當(dāng)n≥4時,解得d=$\frac{2}{n-1}$<1,不滿足各項為正整數(shù)當(dāng)b1=c3=3時,當(dāng)b1=c2=3時,即可得出.
(3)存在等差數(shù)列{an},只需首項a1∈(1,q),公差d=q-1.下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn.即證對任意正整數(shù)n,都有$\left\{\begin{array}{l}{_{n}<{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n-1}+1}}\\{_{n+1}>{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n}}}\end{array}\right.$,作差利用通項公式即可得出.
解答 解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,
由題意得,$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$,解得d=0或3,因數(shù)列{an},{bn}單調(diào)遞增,
所以d>0,q>1,
所以d=3,q=2,
所以an=3n-2,bn=2n-1.…(2分)
因為a1=b1=1,a2=b3,a6=b5,b7>a20.
∴c20=a17=49.…(4分)
(2)設(shè)等差數(shù)列{cn}的公差為d,又a1,且bn=3n,
所以c1=1,所以cn=dn+1-d.
因為b1=3是{cn}中的項,所以設(shè)b1=cn,即d(n-1)=2.
當(dāng)n≥4時,解得d=$\frac{2}{n-1}$<1,不滿足各項為正整數(shù);…(6分)
當(dāng)b1=c3=3時,d=1,此時cn=n,只需取an=n,而等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an},中的項,所以Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$;…(8分)
當(dāng)b1=c2=3時,d=2,此時cn=2n-1,只需取an=2n-1,
由3n=2m-1,得m=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$,3n是奇數(shù),3n+1 是正偶數(shù),m有正整數(shù)解,
所以等比數(shù)列{bn}的項都是等差數(shù)列{an}中的項,所以Sn=n2.…(10分)
綜上所述,數(shù)列{cn}的前n項和Sn=$\frac{n(n+1)}{2}$,或Sn=n2.…(11分)
(3)存在等差數(shù)列{an},只需首項a1∈(1,q),公差d=q-1…(13分)
下證bn與bn+1之間數(shù)列{an}的項數(shù)為bn.即證對任意正整數(shù)n,都有$\left\{\begin{array}{l}{_{n}<{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n-1}+1}}\\{_{n+1}>{a}_{_{1}+_{2}+…+_{n}}}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{_{n}<{a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}}\\{_{n+1}>{a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}}\end{array}\right.$成立.
由bn-${a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}$=qn-1-a1-(1+q+…+qn-2)(q-1)=1-a1<0,
bn+1-${a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}$=qn-a1-(1+q+…+qn-1-1)(q-1)=q-a1>0..
所以首項a1∈(1,q),公差d=q-1的等差數(shù)列{an}符合題意…(16分)
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式求和公式及其性質(zhì)、分類討論方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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印刷冊數(shù)x(千冊) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
單冊成本y(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
印刷冊數(shù)x(千冊) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
單冊成本y(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估計值$\widehat{{y}_{i}}$(1) | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
殘值$\widehat{{e}_{i}}$(1) | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估計值$\widehat{{y}_{i}}$(2) | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
殘值$\widehat{{e}_{i}}$(2) | 0.1 | 0 | 0 |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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