Question

1．如圖，在四棱錐E-ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．
（1）證明：AB⊥平面BCE；
（2）求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EC⊥CD，從而CE⊥面ABCD，再由CE⊥AB，AB⊥BC，由此能證明AB⊥面BCE．
（2）過A作AH⊥DC，交DC于H，則AH⊥平面DCE，連結(jié)EH，則∠AEH是直線AE與平面DCE所成的平面角，由此能證明直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是直角梯形，
∵AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．
∴CD=$\sqrt{{1}^{2}+（3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CE²+DC²=DE²，∴EC⊥CD，
∵面EDC⊥面ABCD，面EDC∩面ABCD=DC，
∴CE⊥面ABCD，
∴CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE=C，
∴AB⊥面BCE．
解：（2）過A作AH⊥DC，交DC于H，
則AH⊥平面DCE，連結(jié)EH，
則∠AEH是直線AE與平面DCE所成的平面角，
∵$\frac{1}{2}×DC×AH$=$\frac{AD+BC}{2}×AB-\frac{1}{2}×AB×BC$，
∴AH=$\frac{\frac{1}{2}（3+1）×1-\frac{1}{2}×1×1}{\frac{1}{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{B}^{2}+（C{E}^{2}+B{C}^{2}）}$=$\sqrt{6}$，
∴sin∠AEH=$\frac{\sqrt{30}}{10}$，
∴直線AE與平面CDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面所成角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．