Question

如圖所示，求圖中曲邊梯形的面積。（只要求寫出極限形式）

Answer 1

解：（1）分割：如圖所示， 將區(qū)間[a，b]任意分割成n個(gè)小區(qū)間，其分點(diǎn)記為： x1，x2，…，xn-1，x0=a，xn=b，即x0=a＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b，每個(gè)區(qū)間記為[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）； （2）近似代替：在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，記為ξi（xi-1＜ξi＜xi），并記△xi=xi-xi-1， 以小區(qū)間長(zhǎng)度△xi為底，f（ξi）為高的小矩形面積為f（ξi） △xi， 設(shè)小曲邊梯形面積為△Ai（i=1，2，…，n）， 則有△Ai≈f（ξi）△xi（i=1，2，…，n）； （3）求和：將所有n個(gè)小矩形面積加起來， 得Sn=f（ξ1）△x1+f（ξ2）△x2+…+f（ξn）△xn=； （4）取極限：如果分點(diǎn)的數(shù)目無限增多， 且每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度趨近于零時(shí)，和式①的極限存在， 則和式①的極限就是所求曲邊梯形的面積S， 即。