Question

11．若圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）n（n＞1，n∈N^*）個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為a_n，則$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2015}{a}_{2016}}$=$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，可得a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n=3（n-1）（n≥2），所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），據(jù)此解答即可．

解答 解：根據(jù)分析，可得
a₂=3=3×（2-1），a₃=6=3×（3-1），a₄=9=3×（4-1），a₅=12=3×（5-1）…a_n=3（n-1），
數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)為a_n=3（n-1）（n≥2）；
所以$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{3（n-1）•3n}$=$\frac{1}{9}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
則$\frac{9}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{9}{{a}_{3}{a}_{4}}$+$\frac{9}{{a}_{4}{a}_{5}}$+…+$\frac{9}{{a}_{2015}{a}_{2016}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案為：$\frac{2014}{2015}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圖形的變化類(lèi)，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的圖形中點(diǎn)數(shù)的變化推得a_n=3（n-1）（n≥2）．