Question

4．如圖，在橢圓$C：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$中，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線OA，OB與C分別交于A，B兩點(diǎn)．
（1）已知直線AB的斜率為k，用k表示線段AB的長(zhǎng)度；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，求線段PM長(zhǎng)度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，可設(shè)AB：y=kx+m．與橢圓方程聯(lián)立得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得：|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{\sqrt{16+64{k}^{2}-16{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$．又由OA⊥OB，知$-1=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，代入化簡(jiǎn)解出即可得出．
（2）設(shè)直線AB：y=kx+m，則$OM：y=-\frac{1}{k}x（{k≠0}）$，可設(shè)M（x，y），由（1）可知，5m²-4k²=4．消去m，k可得：點(diǎn)M的軌跡方程為${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．可得${|{PO}|_{min}}-\frac{2}{{\sqrt{5}}}≤|{PM}|≤{|{PO}|_{max}}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．即可得出．

解答 解：（1）由題意，可設(shè)AB：y=kx+m．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x^2}+4{y^2}-4=0}\end{array}}\right.$，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
于是，${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{1+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-4}}{{1+4{k^2}}}$（*）
則|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{\sqrt{16+64{k}^{2}-16{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$．
又由OA⊥OB，知$-1=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
即$（{{k^2}+1}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}=0$，將（*）代入化簡(jiǎn)得5m²-4k²=4，
所以$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{16+64{k^2}-16（{\frac{4}{5}{k^2}+\frac{4}{5}}）}}}{{4{k^2}+1}}=\frac{4}{{\sqrt{5}}}\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{16{k^2}+1}}}{{4{k^2}+1}}$；
（2）若設(shè)直線AB：y=kx+m，則$OM：y=-\frac{1}{k}x（{k≠0}）$，可設(shè)M（x，y），
由（1）可知，5m²-4k²=4（**）
由$y=-\frac{1}{k}x$，得$k=-\frac{x}{y}$，再代入y=kx+m，得$m=y+\frac{x^2}{y}$，
代入（**），有$5{（{y+\frac{x^2}{y}}）^2}-4\frac{x^2}{y^2}=4$，即5（y²+x²）²=4y²+4x²，
因y²+x²≠0，故有${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．
當(dāng)直線AB的斜率為0或不存在時(shí)，顯然符合${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．
故點(diǎn)M的軌跡方程為${x^2}+{y^2}=\frac{4}{5}$．
所以，${|{PO}|_{min}}-\frac{2}{{\sqrt{5}}}≤|{PM}|≤{|{PO}|_{max}}+\frac{2}{{\sqrt{5}}}$．
而|OP|的最大值為a=2，最小值為b=1，
所以，|PM|的取值范圍為$1-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}≤|{PM}|≤2+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、點(diǎn)的軌跡，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．