Question

18．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PDA⊥底面ABCD，O是AD的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求證：OB⊥平面PAD；
（2）在線段PC上是否存在點(diǎn)M，使得二面角M-BO-C的大小為45°，若存在，確定M的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，O為AD的中點(diǎn)可得四邊形BCDO為平行四邊形，則CD∥BO，從而OB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知，BO⊥平面PAD，
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量法能求出t的值．

解答 證明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，O為AD的中點(diǎn)．
∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴CD∥BO．
∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°，即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．
解：（2）∵PA=PD，O為AD的中點(diǎn)．∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD（6分）
如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則平面BOC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
O（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）．
設(shè)M（x，y，z），PM=tMC
$由\overrightarrow{PM}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{MC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$
則x=-$\frac{t}{1+t}$，y=$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$，
∴$\overrightarrow{OM}=（-\frac{t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}}{1+t}）$，$\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
設(shè)平面MBO的法向量為$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OM}=-\frac{t}{1+t}a+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}b+\frac{\sqrt{3}}{1+t}c=0\\;\\;}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，t）
∵二面角M-BO-C的大小為45°
∴cos45°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{t}{\sqrt{3+{t}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得t=$\sqrt{3}$
∴在線段PC上是存在點(diǎn)M，PM=$\sqrt{3}$MC，使得二面角M-BO-C的大小為45°．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，向量法確定動點(diǎn)位置，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．