Question

7．在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1：3，分?jǐn)?shù)在80以上（含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng)，按文理科用分層抽樣的方法共抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的2×2列聯(lián)表．
（1）填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表，問(wèn)能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”？
（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從參賽學(xué)生中，任意抽取3名學(xué)生，記“獲獎(jiǎng)”學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

	文科生	理科生	合計(jì)
獲獎(jiǎng)	5
不獲獎(jiǎng)		115
合計(jì)			200

附表及公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，計(jì)算K²，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；
（2）由表中數(shù)據(jù)知抽到1名同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率值，且隨機(jī)變量X～B（3，$\frac{1}{5}$），
計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表如下；

	文科生	理科生	合計(jì)
獲獎(jiǎng)	5	35	40
不獲獎(jiǎng)	45	115	160
合計(jì)	50	150	200

計(jì)算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{200{×（5×115-45×35）}^{2}}{50×150×40×160}$≈4.167＞3.841，
∴有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文理科有關(guān)”；
（2）由表中數(shù)據(jù)可知，抽到1名同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率為$\frac{1}{5}$，
且“獲獎(jiǎng)”學(xué)生人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3；
則X～B（3，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=k）=${C}_{3}^{k}$•${（\frac{1}{5}）}^{k}$•${（\frac{4}{5}）}^{3-k}$，其中k=0，1，2，3；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

數(shù)學(xué)期望為EX=np=3×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)與離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．