Question

復(fù)數(shù)z=log₂（x²-3x-3）+ilog₂（x-3），設(shè)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z。
（1）求證：復(fù)數(shù)z不能是純虛數(shù)；
（2）若點(diǎn)z在第三象限內(nèi)，求x的取值范圍；
（3）若點(diǎn)z在直線x-2y+1=0上，求x的值。

Answer 1

解：（1）證明：（反證法）假設(shè)z為純虛數(shù)，
則有l(wèi)og₂（x²- 3x-3）=0，
x²-3x-3=1，
解得x=-1，或x=4，
當(dāng)x=-1時(shí)，log₂（x-3）無(wú)意義；
當(dāng)x=4時(shí)，log₂（x-3）=0，
∴復(fù)數(shù)z不能是純虛數(shù)；
（2）由題意得
解得，
即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)Z在第i象限內(nèi)；
（3）由題意得log₂（x²-3x-3）-2log₂（x-3）+1=0，
解得x=，或（舍去），
即當(dāng)時(shí)，
點(diǎn)Z在直線x-2y+1=0 上。