Question

19．已知函數(shù)f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx（ω＞0），且y=f（x）的最小正周期為π．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，角C為銳角，向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow$=（b，3）垂直，且f（C）=$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式求得f（x）的解析式，根據(jù)周期公式求得ω的值，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（C）=$\sqrt{3}$，代入即可求得C，由向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow$=（b，3）垂直，及ab=3，由三角形面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC，即可求得△ABC的面積．

解答 解：（1）f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$），
y=f（x）的最小正周期為π．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z；
（2）由向量$\overrightarrow{a}$=（a，-2）和$\overrightarrow$=（b，3）垂直，
即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，ab-6=0，
求得：ab=6，
f（C）=$\sqrt{3}$，即2sin（2C-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∵角C為銳角，
解得：C=$\frac{π}{3}$，
由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
△ABC的面積$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查向量垂直的充要條件及三角形面積公式的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．