Question

在等差數(shù)列{a_n}中，3a₈=5a₁₃，且a₁＞0，S_n為其前n項和，問S_n取最大值時，n的值是多少？

Answer 1

分析：設等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項公式化簡已知的等式，用d表示出a₁，由a₁大于0，得到d小于0，然后再利用等差數(shù)列的前n項和公式表示出此等差數(shù)列的前n項和S_n，整理后得到S_n為關于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次項系數(shù)d小于0，得到此函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，即函數(shù)有最大值，進而利用二次函數(shù)取最值的方法即可求出S_n取最大值時n的值．

解答：解：由題意3a₈=5a₁₃，
化簡得：3（a₁+7d）=5（a₁+12d），又a₁＞0，
∴a1=-

39

2

d＞0，
∴d＜0，
∴Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

d

2

(n-20)2-200d，
∵S_n為關于n的二次函數(shù)，且d＜0，
∴此函數(shù)函數(shù)圖象為開口向下的拋物線，即二次函數(shù)有最大值，
∴n=20時，S_n有最大值．

點評：此題考查了等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的通項公式，求和公式，以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．